Matemática Financeira e Estatística
Entenda do zero · Matemática Financeira e Estatística
Aqui há duas perguntas centrais: como comparar dinheiro em datas diferentes e como aprender com dados sem tirar conclusões indevidas?
1. Dinheiro tem uma data
Capital é o valor inicial; juros são a remuneração pelo tempo; montante é capital mais juros. A taxa precisa usar a mesma unidade do prazo: taxa mensal combina com número de meses. Antes da fórmula, anote os valores e desenhe uma linha do tempo.
M = C(1 + i × n) e M = C(1 + i)n, com 10% escrito como 0,10.2. Parcela não é só devolução do principal
Em um financiamento, a prestação normalmente reúne amortização, que reduz a dívida principal, e juros. No SAC, a amortização é constante; no modelo Price padrão, as prestações são constantes, sob taxa fixa e períodos regulares. Para comparar valores de datas diferentes, leve-os a uma mesma data usando uma taxa adequada.
3. Resumir dados sem esconder diferenças
A média soma valores e divide pela quantidade. A mediana é o centro dos dados ordenados. Em 2, 3 e 100, a média é 35 e a mediana é 3: um valor extremo deslocou bastante a média. A dispersão, medida por variância e desvio-padrão, mostra quanto os dados se espalham. Duas bases podem ter a mesma média e comportamentos muito diferentes.
4. Uma amostra não é a população inteira
População é o conjunto de interesse; amostra é a parte observada. Inferência usa a amostra para estimar características da população, com incerteza e pressupostos. Correlação indica associação, não comprova causa. E um p-valor pequeno não significa que a hipótese nula tem aquela probabilidade de ser verdadeira.
Confira se entendeu: 10% ao mês equivale a 20% em dois meses no regime composto?
Não. A taxa equivalente é (1,10 × 1,10) − 1 = 0,21, ou 21%. Somar taxas diretamente corresponde ao raciocínio proporcional, não à equivalência composta.
A seguir, use os conceitos para entender as fórmulas e seus pressupostos.
1. Juros simples x compostos
Juros simples: J = C · i · n M = C · (1 + i·n)
Juros compostos: M = C · (1 + i)^n J = M − C
Capitalização contínua: M = C · e^(r·n)
Nº de períodos (compostos): n = ln(M/C) / ln(1 + i)Exemplo: C = R$ 1.000, i = 10% a.m., n = 3 meses.
Simples: M = 1.000 · (1 + 0,30) = R$ 1.300. Compostos: M = 1.000 · 1,13 = 1.000 · 1,331 = R$ 1.331.
2. Taxas: proporcional, equivalente, nominal, efetiva e real
| Taxa | Definição | Fórmula / exemplo |
|---|---|---|
| Proporcional | Regime simples: divide/multiplica pelo número de períodos | 12% a.a. ↔ 1% a.m. |
| Equivalente | Regime composto: produz o mesmo montante no mesmo prazo | (1 + ia) = (1 + im)12; 1% a.m. ≡ 12,68% a.a. |
| Nominal | Período da taxa ≠ período de capitalização (apenas "rótulo") | 24% a.a. capitalizada mensalmente |
| Efetiva | Período da taxa = período de capitalização | 24% a.a. cap. mensal → 2% a.m. → (1,02)12 − 1 ≈ 26,82% a.a. |
| Real x aparente | Aparente (nominal) inclui inflação; real desconta a inflação | Fisher: (1 + iap) = (1 + ireal)(1 + inflação) |
Exemplo (Fisher): aplicação rendeu 15,5% no ano; inflação de 5%. Real: 1,155 / 1,05 = 1,10 → 10% (e não 10,5%).
3. Desconto: comercial x racional; simples x composto
N = valor nominal (de face, no vencimento); A = valor atual (líquido); D = N − A; n = antecipação.
| Racional ("por dentro") | Comercial / bancário ("por fora") | |
|---|---|---|
| Simples | A = N / (1 + i·n); Dr = A·i·n | Dc = N·d·n; A = N·(1 − d·n) |
| Composto | A = N / (1 + i)n | A = N·(1 − d)n |
| Base de cálculo | Valor atual | Valor nominal |
Exemplo: título de R$ 10.000, antecipado 3 meses, taxa 2% a.m., desconto simples.
Comercial: D = 10.000 · 0,02 · 3 = R$ 600; A = R$ 9.400.
Racional: A = 10.000 / 1,06 ≈ R$ 9.433,96; D ≈ R$ 566,04.
Relações úteis (simples):
D_c = D_r · (1 + i·n) → 600 = 566,04 · 1,06 ✓
Taxa efetiva do desconto comercial no período: i = d·n / (1 − d·n) → 0,06/0,94 ≈ 6,38%4. Equivalência de capitais, séries de pagamentos e fluxo de caixa
Dois capitais são equivalentes se, levados à mesma data focal com a mesma taxa, têm o mesmo valor. Em juros compostos, a data focal escolhida não altera o resultado; em juros simples, altera (por isso a FCC indica a data focal).
Série uniforme postecipada (pagamento no fim de cada período):
VP = PMT · [1 − (1 + i)^−n] / i ← fator a(n,i), "a n cantoneira i"
VF = PMT · [(1 + i)^n − 1] / i ← fator s(n,i)
Série antecipada (1º pagamento na data 0): multiplique por (1 + i)
Perpetuidade: VP = PMT / i Perpetuidade crescente: VP = PMT / (i − g)5. Sistemas de amortização: SAC, Price e misto
| SAC | Price (francês) | SAM (misto) | |
|---|---|---|---|
| Amortização | Constante = PV/n | Crescente | Média das duas |
| Juros | Decrescentes (linearmente) | Decrescentes | Média |
| Prestação | Decrescente (PA de razão −A·i) | Constante | Média aritmética SAC e Price |
| 1ª prestação | Maior que a Price | Menor que a SAC | Intermediária |
| Total de juros | Menor | Maior | Intermediário |
SAC: PV = R$ 12.000, 4 parcelas, 10% a.m. → A = 3.000.
| n | Saldo inicial | Juros | Amortização | Prestação |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 12.000 | 1.200 | 3.000 | 4.200 |
| 2 | 9.000 | 900 | 3.000 | 3.900 |
| 3 | 6.000 | 600 | 3.000 | 3.600 |
| 4 | 3.000 | 300 | 3.000 | 3.300 |
Price: PV = R$ 10.000, 3 parcelas, 10% a.m. → PMT = 10.000 · 0,1 / (1 − 1,1−3) = 1.000 / 0,248685 ≈ R$ 4.021,15.
| n | Saldo inicial | Juros | Amortização | Prestação |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 10.000,00 | 1.000,00 | 3.021,15 | 4.021,15 |
| 2 | 6.978,85 | 697,89 | 3.323,26 | 4.021,15 |
| 3 | 3.655,59 | 365,56 | 3.655,59 | 4.021,15 |
6. VPL e TIR
VPL = −I0 + Σ FCt / (1 + TMA)^t Decisão: VPL > 0 aceita; VPL < 0 rejeita
TIR = taxa que faz VPL = 0 Decisão: TIR > TMA aceitaExemplo: investimento de R$ 1.000, retornos de R$ 600 em t = 1 e t = 2, TMA 10%.
VPL = −1.000 + 600/1,1 + 600/1,21 = −1.000 + 545,45 + 495,87 ≈ R$ 41,32 → aceita. TIR ≈ 13,07% a.p. (> 10%, coerente com VPL positivo).
7. Estatística descritiva e análise exploratória
Tipos de variáveis: qualitativa nominal (cor, sexo) ou ordinal (escolaridade, classe social); quantitativa discreta (contagem: nº de filhos) ou contínua (medida: altura, renda).
Média: x̄ = Σx / n Mediana: valor central dos dados ordenados Moda: valor mais frequente
Variância populacional: σ² = Σ(x − μ)² / N amostral: s² = Σ(x − x̄)² / (n − 1)
Desvio-padrão = √variância Coeficiente de variação: CV = s / x̄
Amplitude interquartil: AIQ = Q3 − Q1
Outlier (boxplot): abaixo de Q1 − 1,5·AIQ ou acima de Q3 + 1,5·AIQExemplo: dados 2, 4, 4, 5, 10. Média = 25/5 = 5; mediana = 4; moda = 4. Desvios: −3, −1, −1, 0, 5 → quadrados somam 36. Variância populacional = 36/5 = 7,2; amostral = 36/4 = 9; s = 3; CV = 3/5 = 60%.
| Operação nos dados | Média, mediana, moda | Variância | Desvio-padrão |
|---|---|---|---|
| Somar constante k | + k | Não muda | Não muda |
| Multiplicar por k | × k | × k² | × |k| |
Covariância e correlação
Cov(X,Y) = Σ(x − x̄)(y − ȳ) / (n − 1) r = Cov(X,Y) / (sX · sY), −1 ≤ r ≤ 1r mede apenas associação linear. r = 0 não implica independência (pode haver relação não linear). Correlação não implica causalidade.
8. Probabilidade: regras, condicional, independência e Bayes
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)
Independência: P(A ∩ B) = P(A) · P(B) ⇔ P(A | B) = P(A)
Probabilidade total: P(B) = Σ P(B | Ai) · P(Ai)
Bayes: P(Ai | B) = P(B | Ai) · P(Ai) / P(B)Exemplo (Bayes): fraude atinge 1% das declarações; o sistema acusa 90% das fraudulentas e 5% das regulares (falso positivo). Dado um alerta, qual a chance de fraude?
P(+) = 0,01·0,90 + 0,99·0,05 = 0,009 + 0,0495 = 0,0585. P(F | +) = 0,009 / 0,0585 ≈ 15,4%.
9. Variáveis aleatórias e distribuições
E(aX + b) = a·E(X) + b Var(aX + b) = a²·Var(X)
Var(X ± Y) = Var(X) + Var(Y) ± 2·Cov(X,Y) (independentes: Cov = 0, e a variância SEMPRE soma)| Distribuição | Uso | Média | Variância |
|---|---|---|---|
| Bernoulli(p) | 1 ensaio sucesso/fracasso | p | p(1 − p) |
| Binomial(n, p) | nº de sucessos em n ensaios independentes; P(X = k) = C(n,k)·pk·(1 − p)n−k | np | np(1 − p) |
| Poisson(λ) | nº de eventos num intervalo; P(X = k) = e−λ·λk/k! | λ | λ |
| Geométrica(p) | nº de ensaios até o 1º sucesso | 1/p | (1 − p)/p² |
| Hipergeométrica | sucessos em amostra sem reposição (N, K, n) | n·K/N | n(K/N)(1 − K/N)(N − n)/(N − 1) |
| Uniforme contínua [a, b] | densidade constante | (a + b)/2 | (b − a)²/12 |
| Exponencial(λ) | tempo entre eventos de Poisson; sem memória | 1/λ | 1/λ² |
| Normal(μ, σ²) | simétrica, em sino | μ | σ² |
| Qui-quadrado (k gl) | soma de k normais padrão ao quadrado; testes de aderência/independência | k | 2k |
| t de Student | média com σ desconhecido e amostra pequena; caudas mais pesadas, tende à normal | 0 (gl > 1) | gl/(gl − 2), gl > 2 |
| F de Snedecor | razão de qui-quadrados divididos pelos gl; ANOVA e comparação de variâncias | assimétrica à direita, só valores positivos | |
Gama e Beta: a Gama generaliza a exponencial (soma de exponenciais independentes); a Beta modela proporções em [0, 1], com média α/(α + β). A multinomial generaliza a binomial para mais de duas categorias.
Exemplos: binomial n = 3, p = 0,5: P(X = 2) = 3 · 0,52 · 0,5 = 0,375. Poisson λ = 2: P(X = 0) = e−2 ≈ 0,1353.
Normal e padronização
Z = (X − μ) / σ ~ N(0, 1)
Regra empírica: μ ± 1σ ≈ 68% μ ± 2σ ≈ 95% μ ± 3σ ≈ 99,7% (exato: ±1,96σ = 95%)Exemplo: notas ~ N(100, 10²). P(X > 120)? Z = (120 − 100)/10 = 2 → P(Z > 2) ≈ 0,5 − 0,4772 = 2,28%.
10. Amostragem e estimação
| Probabilística | Como funciona |
|---|---|
| Aleatória simples | Todos os elementos têm a mesma chance (sorteio) |
| Estratificada | Divide em estratos homogêneos internamente e sorteia em cada estrato |
| Sistemática | Sorteia o início e pega de k em k (k = N/n) |
| Por conglomerados | Divide em grupos heterogêneos internamente (bairros, escolas) e sorteia grupos inteiros |
Não probabilísticas: por conveniência, intencional (julgamento), por cotas, bola de neve. Não permitem calcular o erro amostral.
Intervalo de confiança (σ conhecido): x̄ ± z · σ/√n
Proporção: p̂ ± z · √(p̂(1 − p̂)/n)
Tamanho da amostra (média): n = (z · σ / E)²
Tamanho da amostra (proporção, pior caso p = 0,5): n = z² · 0,25 / E²Exemplo: n = 100, x̄ = 50, σ = 10, 95% (z = 1,96): erro-padrão = 10/10 = 1 → IC = 50 ± 1,96 = [48,04; 51,96].
11. Testes de hipóteses, p-valor e ANOVA
| Decisão \ Realidade | H0 verdadeira | H0 falsa |
|---|---|---|
| Rejeitar H0 | Erro tipo I (prob. α = nível de significância) | Acerto (poder = 1 − β) |
| Não rejeitar H0 | Acerto (1 − α) | Erro tipo II (prob. β) |
p-valor: probabilidade de observar um resultado tão ou mais extremo que o obtido, supondo H0 verdadeira. Regra: p-valor < α → rejeita H0.
- Paramétricos (supõem distribuição, ex.: normalidade): teste z, t (uma amostra, duas amostras independentes, pareado), F, ANOVA.
- Não paramétricos: qui-quadrado (aderência e independência), Mann-Whitney (2 grupos independentes), Wilcoxon (pareado), Kruskal-Wallis (3+ grupos).
- ANOVA: compara 3 ou mais médias. F = QM entre grupos / QM dentro dos grupos. H0: todas as médias iguais. F grande → rejeita H0 (pelo menos uma difere).
12. Regressão linear e séries temporais
Regressão simples (MQO): ŷ = a + b·x
b = Σ(x − x̄)(y − ȳ) / Σ(x − x̄)² = Cov(X,Y)/Var(X) a = ȳ − b·x̄
R² = SQReg / SQTotal ; na regressão simples, R² = r²
R² ajustado penaliza variáveis inúteis (usado na regressão múltipla)Exemplo: x = 1, 2, 3, 4, 5; y = 2, 4, 5, 4, 5. x̄ = 3, ȳ = 4. Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 4 + 0 + 0 + 0 + 2 = 6; Σ(x − x̄)² = 10 → b = 0,6; a = 4 − 0,6 · 3 = 2,2. ŷ = 2,2 + 0,6x. Σ(y − ȳ)² = 6 → r = 6/√60 ≈ 0,775 e R² = 0,60.
Séries temporais: componentes = tendência, sazonalidade, ciclo e ruído. Estacionariedade: média, variância e autocovariância constantes no tempo; séries não estacionárias costumam ser diferenciadas. ARIMA(p, d, q): p = ordem autorregressiva (AR), d = número de diferenciações (I), q = ordem de médias móveis (MA). A ACF (autocorrelação) e a PACF ajudam a identificar q e p.
Modelagem e ML (supervisionado x não supervisionado, matriz de confusão, precisão, recall, F1, ROC/AUC, MAE, MSE, RMSE, overfitting, Ridge x Lasso, k-means, PCA): veja IA e Machine Learning.
Teste rápido
1. Capital de R$ 2.000 a juros compostos de 10% a.m. por 2 meses. Montante?
R$ 2.420. 2.000 · 1,1² = 2.000 · 1,21. Em juros simples seriam R$ 2.400.
2. Taxa nominal de 36% a.a. com capitalização mensal: qual a taxa efetiva mensal?
3% a.m. Nominal converte-se proporcionalmente: 36/12. A efetiva anual seria (1,03)12 − 1 ≈ 42,58%, maior que 36%.
3. Rendimento aparente de 26,5% e inflação de 10% no período. Taxa real?
15%. 1,265 / 1,10 = 1,15. Subtrair (16,5%) é o erro clássico.
4. Título de R$ 5.000 descontado 4 meses antes, desconto comercial simples a 2,5% a.m. Valor líquido?
R$ 4.500. D = 5.000 · 0,025 · 4 = 500; A = 4.500.
5. Financiamento de R$ 20.000 pelo SAC, 10 parcelas, 2% a.m. Qual a 1ª prestação?
R$ 2.400. Amortização = 2.000; juros = 20.000 · 0,02 = 400; prestação = 2.400. A 2ª seria 2.000 + 18.000 · 0,02 = 2.360.
6. Comparando SAC e Price com mesmo valor, prazo e taxa: qual paga menos juros totais?
SAC. Amortiza mais cedo, o saldo devedor cai mais rápido e os juros (saldo × i) são menores.
7. Distribuição com média 50, mediana 45 e moda 40. Qual a assimetria?
Positiva (à direita). Média > mediana > moda: a cauda à direita puxa a média para cima.
8. Se todos os salários forem multiplicados por 1,1, o que acontece com a variância?
É multiplicada por 1,21. Var(kX) = k²·Var(X). O desvio-padrão é multiplicado por 1,1 e o CV não muda.
9. A e B independentes, P(A) = 0,4 e P(B) = 0,5. Calcule P(A ∪ B).
0,7. 0,4 + 0,5 − 0,4·0,5 = 0,9 − 0,2 = 0,7.
10. Rejeitar H0 quando ela é verdadeira é qual erro, e qual sua probabilidade?
Erro tipo I, com probabilidade α. O erro tipo II (β) é não rejeitar H0 falsa; o poder é 1 − β.
11. Para reduzir à metade a amplitude de um intervalo de confiança (mesmo nível), o que fazer com n?
Quadruplicar n. A amplitude é proporcional a 1/√n; √4 = 2.
12. Na regressão simples, r = −0,8. Quanto vale R² e o que significa o sinal?
R² = 0,64; relação linear inversa. 64% da variação de y é explicada por x; b tem o mesmo sinal de r (negativo).